把函数sinx展开成(x-π/4)的幂函数

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2018/09/23 06:49:00
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把函数sinx展开成(x-π/4)的幂函数
把函数sinx展开成(x-π/4)的幂函数

把函数sinx展开成(x-π/4)的幂函数
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-……

sinx=sin(x-π/4+π/4)=sin(x-π/4)cosπ/4+cos(x-π/4)sinπ/4
=√2/2*[sin(x-π/4)+cos(x-π/4)]
=√2/2*[(x-π/4)-(x-π/4)^3/3!+(x-π/4)^5/5!-……+1-(x-π/4)^2/2!+(x-π/4)^4/4!-……]
=√2/2*[1+(x-π/4)-(x-π/4)^2/2!-(x-π/4)^3/3!+(x-π/4)^4/4!+(x-π/4)^5/5!-……]

sinx=sin(x-π/4+π/4) =(sin(x-π/4)+cos(x-π/4))/(根号2)

首先发现sin(x)在π/4的微分第0,第一次是正的,第二第三次因为遇到cos的微分因此变成负的。以此类推。因此

把f(x)=sinx变形为
f(x)=sin(x-π/4+π/4)
=sin(x-π/4)cosπ/4+cos(x-π/4)sinπ/4
=(√2/2)[sin(x-π/4)+cos(x-π/4)]
然后分别求sin(x-π/4)和cos(x-π/4)的幂级数相加即可

同济教材 下 (高等数学)上面 的第 282页上的例题就是这个。
sin x = (1/ √2) [ 1 + (x - t) - (x - t ) ²/2! - ( x-t ) ³ / 3! - ........]
t = pi / 4
x 是属于 一切实数的。

泰勒展开公式展开啊