一道奇数相乘的数学题1×3+3×5+5×7+.+(2n-1)(2n+1)=1/3n(4n^2+6n-1)这道题怎么证明?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2018/12/19 05:30:18
一道奇数相乘的数学题1×3+3×5+5×7+.+(2n-1)(2n+1)=1/3n(4n^2+6n-1)这道题怎么证明?一道奇数相乘的数学题1×3+3×5+5×7+.+(2n-1)(2n+1)=1/3

一道奇数相乘的数学题1×3+3×5+5×7+.+(2n-1)(2n+1)=1/3n(4n^2+6n-1)这道题怎么证明?
一道奇数相乘的数学题
1×3+3×5+5×7+.+(2n-1)(2n+1)=1/3n(4n^2+6n-1)这道题怎么证明?

一道奇数相乘的数学题1×3+3×5+5×7+.+(2n-1)(2n+1)=1/3n(4n^2+6n-1)这道题怎么证明?
1×3+3×5+5×7+.+(2n-1)(2n+1)
=(4*1²-1)+(4*2²-1)+(4*3²-1)+……+(4*n²-1)
=4*(1²+2²+3²+……+n²)-n
=4*n(n+1)(2n+1)/6-n
=(4n²+6n-1)n/3

an=(2n-1)(2n+1)=4n^2-1
所以Sn=4[n(n+1)(2n+1)]/6-n=1/3n(4n^2+6n-1)
里面牵扯到1个平方和定理,不懂hi我

朋友,您好!
解法一:用归纳假设法来证明。具体的先计算当n=1,n=2,n=3时的情况,是否符合原式。再计算当n=k,n=k+1时是否符合,从而得证。
在最后计算n=k,n=k+1时要将算式变形,这里会有点难度。
解法二:an=(2n-1)(2n+1)=4n^2 - 1
Sn=4[n(n+1)(2n+1)]/6 - n
=1/3n(4n^2+6n-1)<...

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朋友,您好!
解法一:用归纳假设法来证明。具体的先计算当n=1,n=2,n=3时的情况,是否符合原式。再计算当n=k,n=k+1时是否符合,从而得证。
在最后计算n=k,n=k+1时要将算式变形,这里会有点难度。
解法二:an=(2n-1)(2n+1)=4n^2 - 1
Sn=4[n(n+1)(2n+1)]/6 - n
=1/3n(4n^2+6n-1)
解法二的补充:
已知数列通项为n^2 求数列各项和
Sn=n(n+1)(2n+1)/6
就是数列1,4,9,……(n-1)^2,n^2的和为
n(n+1)(2n+1)/6
祝生活愉快!

收起

整理an=(2n-1)(2n+1)=4n^2-1, Sn=4(1^2+2^2+3^2+……n^2)-n;
这里要用到一个重要数列的求和公式,
平方和公式: Sn=1^2+2^2+3^2+……n^2=n/6(n+1)(2n+1);
得到 Sn=4*1/6[n(n+1)(2n+1)]-n=1/3n(4n^2+6n-1)
平方和公式的证明参见 http://baike.baidu.com/view/892600.htm

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