求麦克劳林公式

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2019/05/21 13:29:16
求麦克劳林公式求麦克劳林公式求麦克劳林公式f(x)=f(0)+f''(0)*x+f''''(x)/2!*x^2+...+f(n)(0)/n!*x^n(麦克劳林公式公式,最后一项中n表示n阶导数)麦克劳林麦克

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求麦克劳林公式

求麦克劳林公式
f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(x)/2!*x^2+...+f(n)(0)/n!*x^n (麦克劳林公式公式,最后一项中n表示n阶导数)
麦克劳林
麦克劳林,Maclaurin(1698-1746),是18世纪英国最具有影响的数学家之一.
1719年Maclaurin在访问伦敦时见到了Newton,从此便成为了Newton的门生.他在1742年撰写的名著《流数论》是最早为Newton流数方法做出了系统逻辑阐述的著作.他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说,还把级数作为求积分的方法,并独立于Cauchy以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法.他得到数学分析中著名的Maclaurin级数展开式,并用待定系数法给予证明.
他在代数学中的主要贡献是在《代数论》(1748,遗著)中,创立了用行列式的方法求解多个未知数联立线性方程组.但书中记叙法不太好,后来由另一位数学家Gramer又重新发现了这个法则,所以现在称为Gramer法则.
Maclaurin的其他论述涉及到天文学,地图测绘学以及保险统计等学科,都取得了很多创造性的成果.
Maclaurin终生不忘Newton对他的栽培,死后在他的墓碑上刻有“曾蒙Newton的推荐”以表达他对Newton的感激之情.

例子: (sinx/x)^(1/x^2) (x->0)
最佳答案
对sinx作泰勒级数展开,再利用基本极限公式。
sinx=x-x^3/3!+O(x^3)
1/x^2ln(sinx/x)
=1/x^2ln((x-x^3/3!+O(x^3))/x)
=1/x^2ln(1-x^2/3!+O(x^2))(对ln(1+x)继续使用级数展开)

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例子: (sinx/x)^(1/x^2) (x->0)
最佳答案
对sinx作泰勒级数展开,再利用基本极限公式。
sinx=x-x^3/3!+O(x^3)
1/x^2ln(sinx/x)
=1/x^2ln((x-x^3/3!+O(x^3))/x)
=1/x^2ln(1-x^2/3!+O(x^2))(对ln(1+x)继续使用级数展开)
=1/x^2(-xx/6+O(xx))
=-1/6+O(1).
所以lim(sinx/x)^(1/x^2) =e^(-1/6)
好多时候用洛必达法则时会出现没完没了的情况,这时候用级数展开结合无穷小的概念往往收到较好的效果。
这个展开就是所谓麦克劳林公式

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